问题

森林失火后，要确定派出消防队员的数量。 队员多，森林损失小，救援费用大； 队员少，森林损失大，救援费用小。 综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。

分析

记队员人数 $x$, 失火时刻 $t=0$, 开始救火时刻 $t_{1}$, 灭火时刻 $t_{2}$, 时刻 $t$ 森林烧毁面积 $B(t)$.

• 损失费 $f_{1}(x)$ 是 $x$ 的减函数, 由烧毁面积 $B\left(t_{2}\right)$ 决定.

• 救援费 $f_{2}(x)$ 是 $x$ 的增函数, 由队员人数和救火时间决定. 存在恰当的 $x$, 使 $f_{1}(x), f_{2}(x)$ 之和最小

• 关键是对 $B(t)$ 作出合理的简化假设. 失火时刻 $t=0$, 开始救火时刻 $t_{1}$, 灭火时刻 $t_{2}$, 画出时刻 $t$ 森林烧毁面积 $B(t)$ 的大致图形

分析 $B(t)$ 比较困难, 转而讨论森林烧毁 速度 $d B / d t$.

模型假设

• 1) $0 \leq t \leq t, d B / d t$ 与 $t$ 成正比, 系数 $\beta$ (火势蔓延速度)
• 2) $t_{1} \leq t \leq t_{2}, \beta$ 降为 $\beta-\lambda x$ ( $\lambda$ 为队员的平均灭火速度)
• 3) $f_{1}(x)$ 与 $B\left(t_{2}\right)$ 成正比, 系数 $c_{1}$ (烧毁单位面积损失费)
• 4) 每个队员的单位时间灭火费用 $c_{2}$, 一次性费用 $c_{3}$

模型建立

$$ \begin{gathered} b=\beta t_{1}, \quad t_{2}-t_{1}=\frac{b}{\lambda x-\beta} \\ \square t_{2}=t_{1}+\frac{\beta t_{1}}{\lambda x-\beta} \end{gathered} $$

$$ B\left(t_{2}\right)=\int_{0}^{t_{2}} \dot{B}(t) d t=\frac{b t_{2}}{2}=\frac{\beta t_{1}^{2}}{2}+\frac{\beta^{2} t_{1}^{2}}{2(\lambda x-\beta)} $$

$ \text { 假设3、4} \Rightarrow f_{1}(x)=c_{1} B\left(t_{2}\right), f_{2}(x)=c_{2} x\left(t_{2}-t_{1}\right)+c_{3} x $

$$ \text { 目标函数—一总费用 } \quad C(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x) $$$$ C(x)=\frac{c_{1} \beta t_{1}^{2}}{2}+\frac{c_{1} \beta^{2} t_{1}^{2}}{2(\lambda x-\beta)}+\frac{c_{2} \beta t_{1} x}{\lambda x-\beta}+c_{3} x $$

其中 $c_{1}, c_{2}, c_{3}, t_{1}, \beta, \lambda$ 为已知参数

模型求解

求 $x$ 使 $C(x)$ 最小 $$ \frac{d C}{d x}=0 \quad \Rightarrow x=\frac{\beta}{\lambda}+\beta \sqrt{\frac{c_{1} \lambda t_{1}^{2}+2 c_{2} t_{1}}{2 c_{3} \lambda^{2}}} $$

结果解释

• $\beta / \lambda$ 是火势不继续蔓延的最少队员数

结果解释

$\quad x=\frac{\beta}{\lambda}+\beta \sqrt{\frac{c_{1} \lambda t_{1}^{2}+2 c_{2} t_{1}}{2 c_{3} \lambda^{2}}}$ $c_{1}$ 烧毁单位面积损失费, $c_{2}$ 每个队员单位时间灭火费, $c_{3}$ 每个队员一次性费用, $t_{1} \sim$ 开始救火时刻, $\beta \sim$ 火势蔓延速度, $\lambda$ 每个队员平均灭火速度. $$ c_{1}, t_{1}, \beta \uparrow \rightarrow x \uparrow \quad c_{3}, \lambda \uparrow \rightarrow x \downarrow $$

来源

• 《数学模型(第五版)》(姜启源,谢金星,叶俊)

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